Løs x^2-x-40geq0

$$x ^ { 2 } - x - 40 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in (-\infty,\frac{1-\sqrt{161}}{2}]\cup [\frac{\sqrt{161}+1}{2},\infty)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-40=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -1 med b, og -40 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-40\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{1±\sqrt{161}}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{1±\sqrt{161}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\frac{\sqrt{161}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{161}}{2}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$\left(x-\frac{\sqrt{161}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{161}}{2}\right)\geq 0$$

For at produktet skal være ≥0, x-\frac{\sqrt{161}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{161}}{2} må være både ≤0 eller begge ≥0. Vurder saken når x-\frac{\sqrt{161}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{161}}{2} er begge ≤0.

$$x-\frac{\sqrt{161}+1}{2}\leq 0 x-\frac{1-\sqrt{161}}{2}\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\leq \frac{1-\sqrt{161}}{2}.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{161}}{2}$$

Vurder saken når x-\frac{\sqrt{161}+1}{2} og x-\frac{1-\sqrt{161}}{2} er begge ≥0.

$$x-\frac{1-\sqrt{161}}{2}\geq 0 x-\frac{\sqrt{161}+1}{2}\geq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\geq \frac{\sqrt{161}+1}{2}.

$$x\geq \frac{\sqrt{161}+1}{2}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\leq \frac{1-\sqrt{161}}{2}\text{; }x\geq \frac{\sqrt{161}+1}{2}$$