Løs x^2-7x-30=0

$$x ^ { 2 } - 7 x - 30 = 0$$

Løs for x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Trinn ved bruk av faktorisering

For å løse ligningen må du faktorisere x^{2}-7x-30 ved å bruke formelen x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-7 ab=-30$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -7.

$$a=-10 b=3$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-10=0 og x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx-30. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -7.

$$a=-10 b=3$$

Skriv om x^{2}-7x-30 som \left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right)$$

Faktor ut x i den første og 3 i den andre gruppen.

$$x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-10 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-10=0 og x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -7 for b og -30 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Kvadrer -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-30\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2}$$

Legg sammen 49 og 120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2}$$

Ta kvadratroten av 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2}$$

Det motsatte av -7 er 7.

$$x=\frac{7±13}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±13}{2} når ± er pluss. Legg sammen 7 og 13.

$$x=\frac{20}{2}$$

Del 20 på 2.

$$x=10$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{7±13}{2} når ± er minus. Trekk fra 13 fra 7.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Del -6 på 2.

$$x=-3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=10 x=-3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x-30=0$$

Legg til 30 på begge sider av ligningen.

$$x^{2}-7x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Når du trekker fra -30 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-7x=-\left(-30\right)$$

Trekk fra -30 fra 0.

$$x^{2}-7x=30$$

Divider -7, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{7}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{7}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{7}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Legg sammen 30 og \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktoriser x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Legg til \frac{7}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=10 x=-3$$