Løs x^2-4x-9geq0

$$x ^ { 2 } - 4 x - 9 \geq 0$$

Løs for x

$$x\in (-\infty,2-\sqrt{13}]\cup [\sqrt{13}+2,\infty)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-4x-9=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -4 med b, og -9 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-9\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{4±2\sqrt{13}}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{4±2\sqrt{13}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\sqrt{13}+2 x=2-\sqrt{13}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$\left(x-\left(\sqrt{13}+2\right)\right)\left(x-\left(2-\sqrt{13}\right)\right)\geq 0$$

For at produktet skal være ≥0, x-\left(\sqrt{13}+2\right) og x-\left(2-\sqrt{13}\right) må være både ≤0 eller begge ≥0. Vurder saken når x-\left(\sqrt{13}+2\right) og x-\left(2-\sqrt{13}\right) er begge ≤0.

$$x-\left(\sqrt{13}+2\right)\leq 0 x-\left(2-\sqrt{13}\right)\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\leq 2-\sqrt{13}.

$$x\leq 2-\sqrt{13}$$

Vurder saken når x-\left(\sqrt{13}+2\right) og x-\left(2-\sqrt{13}\right) er begge ≥0.

$$x-\left(2-\sqrt{13}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{13}+2\right)\geq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\geq \sqrt{13}+2.

$$x\geq \sqrt{13}+2$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\leq 2-\sqrt{13}\text{; }x\geq \sqrt{13}+2$$