Løs x^2-4x-11/4=0

$$x ^ { 2 } - 4 x - \frac { 11 } { 4 } = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{3\sqrt{3}}{2}+2\approx 4,598076211$$

$$x=-\frac{3\sqrt{3}}{2}+2\approx -0,598076211$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-4x-\frac{11}{4}=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -4 for b og -\frac{11}{4} for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-\frac{11}{4}\right)}}{2}$$

Kvadrer -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-\frac{11}{4}\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -\frac{11}{4}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+11}}{2}$$

Legg sammen 16 og 11.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{27}}{2}$$

Ta kvadratroten av 27.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±3\sqrt{3}}{2}$$

Det motsatte av -4 er 4.

$$x=\frac{4±3\sqrt{3}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±3\sqrt{3}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 4 og 3\sqrt{3}.

$$x=\frac{3\sqrt{3}+4}{2}$$

Del 4+3\sqrt{3} på 2.

$$x=\frac{3\sqrt{3}}{2}+2$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±3\sqrt{3}}{2} når ± er minus. Trekk fra 3\sqrt{3} fra 4.

$$x=\frac{4-3\sqrt{3}}{2}$$

Del 4-3\sqrt{3} på 2.

$$x=-\frac{3\sqrt{3}}{2}+2$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3\sqrt{3}}{2}+2 x=-\frac{3\sqrt{3}}{2}+2$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x-\frac{11}{4}=0$$

Legg til \frac{11}{4} på begge sider av ligningen.

$$x^{2}-4x-\frac{11}{4}-\left(-\frac{11}{4}\right)=-\left(-\frac{11}{4}\right)$$

Når du trekker fra -\frac{11}{4} fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-4x=-\left(-\frac{11}{4}\right)$$

Trekk fra -\frac{11}{4} fra 0.

$$x^{2}-4x=\frac{11}{4}$$

Del -4, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -2. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -2 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrer -2.

$$x^{2}-4x+4=\frac{11}{4}+4$$

Legg sammen \frac{11}{4} og 4.

$$x^{2}-4x+4=\frac{27}{4}$$

Faktoriser x^{2}-4x+4. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=\frac{27}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{4}}$$

Forenkle.

$$x-2=\frac{3\sqrt{3}}{2} x-2=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{3}}{2}+2 x=-\frac{3\sqrt{3}}{2}+2$$