Løs x^2-3x-108=0

$$x ^ { 2 } - 3 x - 108 = 0$$

Løs for x

$$x=-9$$

$$x=12$$

Trinn ved bruk av faktorisering

Hvis du vil løse formelen, faktor x^{2}-3x-108 å bruke formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-3 ab=-108$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -3.

$$a=-12 b=9$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-12=0 og x+9=0.

$$x=12 x=-9$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-108. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-3 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -3.

$$a=-12 b=9$$

Skriv om x^{2}-3x-108 som \left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right)$$

Faktor ut x i den første og 9 i den andre gruppen.

$$x\left(x-12\right)+9\left(x-12\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-12 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-12=0 og x+9=0.

$$x=12 x=-9$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -3 for b og -108 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-108\right)}}{2}$$

Kvadrer -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-108\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+432}}{2}$$

Legg sammen 9 og 432.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{441}}{2}$$

Ta kvadratroten av 441.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±21}{2}$$

Det motsatte av -3 er 3.

$$x=\frac{3±21}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±21}{2} når ± er pluss. Legg sammen 3 og 21.

$$x=\frac{24}{2}$$

Del 24 på 2.

$$x=12$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{3±21}{2} når ± er minus. Trekk fra 21 fra 3.

$$x=-\frac{18}{2}$$

Del -18 på 2.

$$x=-9$$

Ligningen er nå løst.

$$x=12 x=-9$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x-108=0$$

Legg til 108 på begge sider av ligningen.

$$x^{2}-3x-108-\left(-108\right)=-\left(-108\right)$$

Når du trekker fra -108 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-3x=-\left(-108\right)$$

Trekk fra -108 fra 0.

$$x^{2}-3x=108$$

Del -3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=108+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=108+\frac{9}{4}$$

Legg sammen 108 og \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{441}{4}$$

Faktoriser x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{21}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{21}{2}$$

Legg til \frac{3}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=12 x=-9$$