Løs x^2-25x+144=0

$$x ^ { 2 } - 25 x + 144 = 0$$

Løs for x

$$x=9$$

$$x=16$$

Trinn ved bruk av faktorisering

Hvis du vil løse formelen, faktor x^{2}-25x+144 å bruke formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-25 ab=144$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Løsningen er paret som gir Summer -25.

$$a=-16 b=-9$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-16\right)\left(x-9\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-16=0 og x-9=0.

$$x=16 x=9$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx+144. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-25 ab=1\times 144=144$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Løsningen er paret som gir Summer -25.

$$a=-16 b=-9$$

Skriv om x^{2}-25x+144 som \left(x^{2}-16x\right)+\left(-9x+144\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(-9x+144\right)$$

Faktor ut x i den første og -9 i den andre gruppen.

$$x\left(x-16\right)-9\left(x-16\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-16 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-16\right)\left(x-9\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-16=0 og x-9=0.

$$x=16 x=9$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-25x+144=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -25 for b og 144 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 144}}{2}$$

Kvadrer -25.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 144}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 144.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-576}}{2}$$

Legg sammen 625 og -576.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Ta kvadratroten av 49.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±7}{2}$$

Det motsatte av -25 er 25.

$$x=\frac{25±7}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{25±7}{2} når ± er pluss. Legg sammen 25 og 7.

$$x=\frac{32}{2}$$

Del 32 på 2.

$$x=16$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{25±7}{2} når ± er minus. Trekk fra 7 fra 25.

$$x=\frac{18}{2}$$

Del 18 på 2.

$$x=9$$

Ligningen er nå løst.

$$x=16 x=9$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-25x+144=0$$

Trekk fra 144 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-25x+144-144=-144$$

Når du trekker fra 144 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-25x=-144$$

Del -25, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{25}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{25}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-144+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{25}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-144+\frac{625}{4}$$

Legg sammen -144 og \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktoriser x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{7}{2}$$

Legg til \frac{25}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=16 x=9$$