Løs x^2-24x+11=0

$$x ^ { 2 } - 24 x + 11 = 0$$

Løs for x

$$x=\sqrt{133}+12\approx 23,532562595$$

$$x=12-\sqrt{133}\approx 0,467437405$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-24x+11=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -24 for b og 11 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Kvadrer -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 11}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 11.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-44}}{2}$$

Legg sammen 576 og -44.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{532}}{2}$$

Ta kvadratroten av 532.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±2\sqrt{133}}{2}$$

Det motsatte av -24 er 24.

$$x=\frac{24±2\sqrt{133}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{24±2\sqrt{133}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 24 og 2\sqrt{133}.

$$x=\frac{2\sqrt{133}+24}{2}$$

Del 24+2\sqrt{133} på 2.

$$x=\sqrt{133}+12$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{24±2\sqrt{133}}{2} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{133} fra 24.

$$x=\frac{24-2\sqrt{133}}{2}$$

Del 24-2\sqrt{133} på 2.

$$x=12-\sqrt{133}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\sqrt{133}+12 x=12-\sqrt{133}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-24x+11=0$$

Trekk fra 11 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-24x+11-11=-11$$

Når du trekker fra 11 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-24x=-11$$

Del -24, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -12. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -12 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-24x+\left(-12\right)^{2}=-11+\left(-12\right)^{2}$$

Kvadrer -12.

$$x^{2}-24x+144=-11+144$$

Legg sammen -11 og 144.

$$x^{2}-24x+144=133$$

Faktoriser x^{2}-24x+144. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-12\right)^{2}=133$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-12\right)^{2}}=\sqrt{133}$$

Forenkle.

$$x-12=\sqrt{133} x-12=-\sqrt{133}$$

Legg til 12 på begge sider av ligningen.

$$x=\sqrt{133}+12 x=12-\sqrt{133}$$