Løs x^2-2x-1leq0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

Løs for x

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -2 med b, og -1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

Løs ligningen x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

En av verdiene x-\left(\sqrt{2}+1\right) og x-\left(1-\sqrt{2}\right) må være ≥0 og den andre må være ≤0 for at produktet skal bli ≤0. Vurder saken når x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 og x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Dette er usant for alle x.

$$x\in \emptyset$$

Vurder saken når x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 og x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$