Løs x^2-15x-9=0

$$x ^ { 2 } - 15 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x = \frac{3 \sqrt{29} + 15}{2} \approx 15,577747211$$

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}\approx -0,577747211$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -15 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kvadrer -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+36}}{2}$$

Legg sammen 225 og 36.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{261}}{2}$$

Ta kvadratroten av 261.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{29}}{2}$$

Det motsatte av -15 er 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 15 og 3\sqrt{29}.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2} når ± er minus. Trekk fra 3\sqrt{29} fra 15.

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$x^{2}-15x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-15x=-\left(-9\right)$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$x^{2}-15x=9$$

Del -15, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{15}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{15}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{15}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=9+\frac{225}{4}$$

Legg sammen 9 og \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{261}{4}$$

Faktoriser x^{2}-15x+\frac{225}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{261}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{261}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{3\sqrt{29}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{3\sqrt{29}}{2}$$

Legg til \frac{15}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$