Løs x^2-14x+40=0

$$x ^ { 2 } - 14 x + 40 = 0$$

Løs for x

$$x=4$$

$$x=10$$

Trinn ved bruk av faktorisering

Hvis du vil løse formelen, faktor x^{2}-14x+40 å bruke formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-14 ab=40$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Løsningen er paret som gir Summer -14.

$$a=-10 b=-4$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-10=0 og x-4=0.

$$x=10 x=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx+40. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-14 ab=1\times 40=40$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 40.

$$-1,-40 -2,-20 -4,-10 -5,-8$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-40=-41 -2-20=-22 -4-10=-14 -5-8=-13$$

Løsningen er paret som gir Summer -14.

$$a=-10 b=-4$$

Skriv om x^{2}-14x+40 som \left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(-4x+40\right)$$

Faktor ut x i den første og -4 i den andre gruppen.

$$x\left(x-10\right)-4\left(x-10\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-10 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-10\right)\left(x-4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-10=0 og x-4=0.

$$x=10 x=4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-14x+40=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -14 for b og 40 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 40}}{2}$$

Kvadrer -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 40}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 40.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-160}}{2}$$

Legg sammen 196 og -160.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Ta kvadratroten av 36.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±6}{2}$$

Det motsatte av -14 er 14.

$$x=\frac{14±6}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{14±6}{2} når ± er pluss. Legg sammen 14 og 6.

$$x=\frac{20}{2}$$

Del 20 på 2.

$$x=10$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{14±6}{2} når ± er minus. Trekk fra 6 fra 14.

$$x=\frac{8}{2}$$

Del 8 på 2.

$$x=4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=10 x=4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-14x+40=0$$

Trekk fra 40 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-14x+40-40=-40$$

Når du trekker fra 40 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-14x=-40$$

Del -14, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -7. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -7 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-40+\left(-7\right)^{2}$$

Kvadrer -7.

$$x^{2}-14x+49=-40+49$$

Legg sammen -40 og 49.

$$x^{2}-14x+49=9$$

Faktoriser x^{2}-14x+49. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=9$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Forenkle.

$$x-7=3 x-7=-3$$

Legg til 7 på begge sider av ligningen.

$$x=10 x=4$$