Løs x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Løs for x

$$x=6$$

$$x=7$$

Trinn ved bruk av faktorisering

For å løse ligningen må du faktorisere x^{2}-13x+42 ved å bruke formelen x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-13 ab=42$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Løsningen er paret som gir Summer -13.

$$a=-7 b=-6$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-7=0 og x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx+42. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Løsningen er paret som gir Summer -13.

$$a=-7 b=-6$$

Skriv om x^{2}-13x+42 som \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Faktor ut x i den første og -6 i den andre gruppen.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-7 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-7=0 og x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -13 for b og 42 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Kvadrer -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Legg sammen 169 og -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Ta kvadratroten av 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Det motsatte av -13 er 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{13±1}{2} når ± er pluss. Legg sammen 13 og 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Del 14 på 2.

$$x=7$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{13±1}{2} når ± er minus. Trekk fra 1 fra 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Del 12 på 2.

$$x=6$$

Ligningen er nå løst.

$$x=7 x=6$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Trekk fra 42 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Når du trekker fra 42 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-13x=-42$$

Divider -13, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{13}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{13}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{13}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Legg sammen -42 og \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktoriser x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Legg til \frac{13}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=7 x=6$$