Løs x^2-12x-9=0

$$x ^ { 2 } - 12 x - 9 = 0$$

Løs for x

$$x=3\sqrt{5}+6\approx 12,708203932$$

$$x=6-3\sqrt{5}\approx -0,708203932$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -12 for b og -9 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kvadrer -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+36}}{2}$$

Legg sammen 144 og 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{180}}{2}$$

Ta kvadratroten av 180.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{5}}{2}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 6\sqrt{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{5}+12}{2}$$

Del 12+6\sqrt{5} på 2.

$$x=3\sqrt{5}+6$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2} når ± er minus. Trekk fra 6\sqrt{5} fra 12.

$$x=\frac{12-6\sqrt{5}}{2}$$

Del 12-6\sqrt{5} på 2.

$$x=6-3\sqrt{5}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Legg til 9 på begge sider av ligningen.

$$x^{2}-12x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Når du trekker fra -9 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-12x=-\left(-9\right)$$

Trekk fra -9 fra 0.

$$x^{2}-12x=9$$

Del -12, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -6. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -6 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=9+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrer -6.

$$x^{2}-12x+36=9+36$$

Legg sammen 9 og 36.

$$x^{2}-12x+36=45$$

Faktoriser x^{2}-12x+36. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=45$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{45}$$

Forenkle.

$$x-6=3\sqrt{5} x-6=-3\sqrt{5}$$

Legg til 6 på begge sider av ligningen.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$