Løs x^2-11x+28=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 28 = 0$$

Løs for x

$$x=4$$

$$x=7$$

Trinn ved bruk av faktorisering

Hvis du vil løse formelen, faktor x^{2}-11x+28 å bruke formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-11 ab=28$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Løsningen er paret som gir Summer -11.

$$a=-7 b=-4$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-7=0 og x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx+28. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Løsningen er paret som gir Summer -11.

$$a=-7 b=-4$$

Skriv om x^{2}-11x+28 som \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

Faktor ut x i den første og -4 i den andre gruppen.

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-7 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-7=0 og x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -11 for b og 28 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

Kvadrer -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Legg sammen 121 og -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Ta kvadratroten av 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

Det motsatte av -11 er 11.

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{11±3}{2} når ± er pluss. Legg sammen 11 og 3.

$$x=\frac{14}{2}$$

Del 14 på 2.

$$x=7$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{11±3}{2} når ± er minus. Trekk fra 3 fra 11.

$$x=\frac{8}{2}$$

Del 8 på 2.

$$x=4$$

Ligningen er nå løst.

$$x=7 x=4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Trekk fra 28 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-11x+28-28=-28$$

Når du trekker fra 28 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-11x=-28$$

Del -11, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{11}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{11}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{11}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Legg sammen -28 og \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktoriser x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Legg til \frac{11}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=7 x=4$$