Løs x^2-11x+24=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 24 = 0$$

Løs for x

$$x=3$$

$$x=8$$

Trinn ved bruk av faktorisering

Hvis du vil løse formelen, faktor x^{2}-11x+24 å bruke formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-11 ab=24$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Løsningen er paret som gir Summer -11.

$$a=-8 b=-3$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-8\right)\left(x-3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-8=0 og x-3=0.

$$x=8 x=3$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx+24. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-11 ab=1\times 24=24$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Løsningen er paret som gir Summer -11.

$$a=-8 b=-3$$

Skriv om x^{2}-11x+24 som \left(x^{2}-8x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Faktor ut x i den første og -3 i den andre gruppen.

$$x\left(x-8\right)-3\left(x-8\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-8 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-8\right)\left(x-3\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-8=0 og x-3=0.

$$x=8 x=3$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-11x+24=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -11 for b og 24 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 24}}{2}$$

Kvadrer -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 24}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2}$$

Legg sammen 121 og -96.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Ta kvadratroten av 25.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2}$$

Det motsatte av -11 er 11.

$$x=\frac{11±5}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{11±5}{2} når ± er pluss. Legg sammen 11 og 5.

$$x=\frac{16}{2}$$

Del 16 på 2.

$$x=8$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{11±5}{2} når ± er minus. Trekk fra 5 fra 11.

$$x=\frac{6}{2}$$

Del 6 på 2.

$$x=3$$

Ligningen er nå løst.

$$x=8 x=3$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x+24=0$$

Trekk fra 24 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-11x+24-24=-24$$

Når du trekker fra 24 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-11x=-24$$

Del -11, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{11}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{11}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{11}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

Legg sammen -24 og \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktoriser x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

Legg til \frac{11}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=8 x=3$$