Løs x^2-10x-23=0

$$x ^ { 2 } - 10 x - 23 = 0$$

Løs for x

$$x=4\sqrt{3}+5\approx 11,92820323$$

$$x=5-4\sqrt{3}\approx -1,92820323$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-10x-23=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -10 for b og -23 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-23\right)}}{2}$$

Kvadrer -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-23\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -23.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+92}}{2}$$

Legg sammen 100 og 92.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{192}}{2}$$

Ta kvadratroten av 192.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±8\sqrt{3}}{2}$$

Det motsatte av -10 er 10.

$$x=\frac{10±8\sqrt{3}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{10±8\sqrt{3}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 10 og 8\sqrt{3}.

$$x=\frac{8\sqrt{3}+10}{2}$$

Del 10+8\sqrt{3} på 2.

$$x=4\sqrt{3}+5$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{10±8\sqrt{3}}{2} når ± er minus. Trekk fra 8\sqrt{3} fra 10.

$$x=\frac{10-8\sqrt{3}}{2}$$

Del 10-8\sqrt{3} på 2.

$$x=5-4\sqrt{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=4\sqrt{3}+5 x=5-4\sqrt{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x-23=0$$

Legg til 23 på begge sider av ligningen.

$$x^{2}-10x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

Når du trekker fra -23 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-10x=-\left(-23\right)$$

Trekk fra -23 fra 0.

$$x^{2}-10x=23$$

Del -10, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -5. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -5 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=23+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrer -5.

$$x^{2}-10x+25=23+25$$

Legg sammen 23 og 25.

$$x^{2}-10x+25=48$$

Faktoriser x^{2}-10x+25. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=48$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{48}$$

Forenkle.

$$x-5=4\sqrt{3} x-5=-4\sqrt{3}$$

Legg til 5 på begge sider av ligningen.

$$x=4\sqrt{3}+5 x=5-4\sqrt{3}$$