Løs x^2-10x+90=0

$$x ^ { 2 } - 10 x + 90 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=5+\sqrt{65}i\approx 5+8,062257748i$$

$$x=-\sqrt{65}i+5\approx 5-8,062257748i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -10 for b og 90 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

Kvadrer -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 90}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 90.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-360}}{2}$$

Legg sammen 100 og -360.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-260}}{2}$$

Ta kvadratroten av -260.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{65}i}{2}$$

Det motsatte av -10 er 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} når ± er pluss. Legg sammen 10 og 2i\sqrt{65}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{65}i}{2}$$

Del 10+2i\sqrt{65} på 2.

$$x=5+\sqrt{65}i$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} når ± er minus. Trekk fra 2i\sqrt{65} fra 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}i+10}{2}$$

Del 10-2i\sqrt{65} på 2.

$$x=-\sqrt{65}i+5$$

Ligningen er nå løst.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Trekk fra 90 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}-10x+90-90=-90$$

Når du trekker fra 90 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}-10x=-90$$

Del -10, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -5. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -5 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-90+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrer -5.

$$x^{2}-10x+25=-90+25$$

Legg sammen -90 og 25.

$$x^{2}-10x+25=-65$$

Faktoriser x^{2}-10x+25. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=-65$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-65}$$

Forenkle.

$$x-5=\sqrt{65}i x-5=-\sqrt{65}i$$

Legg til 5 på begge sider av ligningen.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$