Løs x^2-(x-12)^2=(x-24)^2

$$x ^ { 2 } - ( x - 12 ) ^ { 2 } = ( x - 24 ) ^ { 2 }$$

Løs for x

$$x=12$$

$$x=60$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-12\right)^{2}.

$$x^{2}-\left(x^{2}-24x+144\right)=\left(x-24\right)^{2}$$

Du finner den motsatte av x^{2}-24x+144 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$x^{2}-x^{2}+24x-144=\left(x-24\right)^{2}$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for å få 0.

$$24x-144=\left(x-24\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-24\right)^{2}.

$$24x-144=x^{2}-48x+576$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$24x-144-x^{2}=-48x+576$$

Legg til 48x på begge sider.

$$24x-144-x^{2}+48x=576$$

Kombiner 24x og 48x for å få 72x.

$$72x-144-x^{2}=576$$

Trekk fra 576 fra begge sider.

$$72x-144-x^{2}-576=0$$

Trekk fra 576 fra -144 for å få -720.

$$72x-720-x^{2}=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-x^{2}+72x-720=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som -x^{2}+ax+bx-720. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=72 ab=-\left(-720\right)=720$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 720.

$$1,720 2,360 3,240 4,180 5,144 6,120 8,90 9,80 10,72 12,60 15,48 16,45 18,40 20,36 24,30$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+720=721 2+360=362 3+240=243 4+180=184 5+144=149 6+120=126 8+90=98 9+80=89 10+72=82 12+60=72 15+48=63 16+45=61 18+40=58 20+36=56 24+30=54$$

Løsningen er paret som gir Summer 72.

$$a=60 b=12$$

Skriv om -x^{2}+72x-720 som \left(-x^{2}+60x\right)+\left(12x-720\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(12x-720\right)$$

Faktor ut -x i den første og 12 i den andre gruppen.

$$-x\left(x-60\right)+12\left(x-60\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-60 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-60\right)\left(-x+12\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-60=0 og -x+12=0.

$$x=60 x=12$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-12\right)^{2}.

$$x^{2}-\left(x^{2}-24x+144\right)=\left(x-24\right)^{2}$$

Du finner den motsatte av x^{2}-24x+144 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$x^{2}-x^{2}+24x-144=\left(x-24\right)^{2}$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for å få 0.

$$24x-144=\left(x-24\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-24\right)^{2}.

$$24x-144=x^{2}-48x+576$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$24x-144-x^{2}=-48x+576$$

Legg til 48x på begge sider.

$$24x-144-x^{2}+48x=576$$

Kombiner 24x og 48x for å få 72x.

$$72x-144-x^{2}=576$$

Trekk fra 576 fra begge sider.

$$72x-144-x^{2}-576=0$$

Trekk fra 576 fra -144 for å få -720.

$$72x-720-x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+72x-720=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 72 for b og -720 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-72±\sqrt{72^{2}-4\left(-1\right)\left(-720\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 72.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-4\left(-1\right)\left(-720\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184+4\left(-720\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 4 ganger -720.

$$x=\frac{-72±\sqrt{5184-2880}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 5184 og -2880.

$$x=\frac{-72±\sqrt{2304}}{2\left(-1\right)}$$

Ta kvadratroten av 2304.

$$x=\frac{-72±48}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-72±48}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-72±48}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -72 og 48.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Del -24 på -2.

$$x=12$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-72±48}{-2} når ± er minus. Trekk fra 48 fra -72.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Del -120 på -2.

$$x=60$$

Ligningen er nå løst.

$$x=12 x=60$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-12\right)^{2}.

$$x^{2}-\left(x^{2}-24x+144\right)=\left(x-24\right)^{2}$$

Du finner den motsatte av x^{2}-24x+144 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$x^{2}-x^{2}+24x-144=\left(x-24\right)^{2}$$

Kombiner x^{2} og -x^{2} for å få 0.

$$24x-144=\left(x-24\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(x-24\right)^{2}.

$$24x-144=x^{2}-48x+576$$

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$24x-144-x^{2}=-48x+576$$

Legg til 48x på begge sider.

$$24x-144-x^{2}+48x=576$$

Kombiner 24x og 48x for å få 72x.

$$72x-144-x^{2}=576$$

Legg til 144 på begge sider.

$$72x-x^{2}=576+144$$

Legg sammen 576 og 144 for å få 720.

$$72x-x^{2}=720$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+72x=720$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+72x}{-1}=\frac{720}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{72}{-1}x=\frac{720}{-1}$$

Del 72 på -1.

$$x^{2}-72x=\frac{720}{-1}$$

Del 720 på -1.

$$x^{2}-72x=-720$$

Del -72, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -36. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -36 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-72x+\left(-36\right)^{2}=-720+\left(-36\right)^{2}$$

Kvadrer -36.

$$x^{2}-72x+1296=-720+1296$$

Legg sammen -720 og 1296.

$$x^{2}-72x+1296=576$$

Faktoriser x^{2}-72x+1296. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-36\right)^{2}=576$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-36\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

Forenkle.

$$x-36=24 x-36=-24$$

Legg til 36 på begge sider av ligningen.

$$x=60 x=12$$