Løs x^2+34x-71000=0

$$x ^ { 2 } + 34 x - 71000 = 0$$

Løs for x

$$x=-284$$

$$x=250$$

Trinn ved bruk av faktorisering

For å løse ligningen må du faktorisere x^{2}+34x-71000 ved å bruke formelen x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=34 ab=-71000$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Løsningen er paret som gir Summer 34.

$$a=-250 b=284$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-250=0 og x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som x^{2}+ax+bx-71000. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=34 ab=1\left(-71000\right)=-71000$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -71000.

$$-1,71000 -2,35500 -4,17750 -5,14200 -8,8875 -10,7100 -20,3550 -25,2840 -40,1775 -50,1420 -71,1000 -100,710 -125,568 -142,500 -200,355 -250,284$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+71000=70999 -2+35500=35498 -4+17750=17746 -5+14200=14195 -8+8875=8867 -10+7100=7090 -20+3550=3530 -25+2840=2815 -40+1775=1735 -50+1420=1370 -71+1000=929 -100+710=610 -125+568=443 -142+500=358 -200+355=155 -250+284=34$$

Løsningen er paret som gir Summer 34.

$$a=-250 b=284$$

Skriv om x^{2}+34x-71000 som \left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right).

$$\left(x^{2}-250x\right)+\left(284x-71000\right)$$

Faktor ut x i den første og 284 i den andre gruppen.

$$x\left(x-250\right)+284\left(x-250\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-250 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-250\right)\left(x+284\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-250=0 og x+284=0.

$$x=250 x=-284$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, 34 for b og -71000 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Kvadrer 34.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\left(-71000\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -71000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156+284000}}{2}$$

Legg sammen 1156 og 284000.

$$x=\frac{-34±\sqrt{285156}}{2}$$

Ta kvadratroten av 285156.

$$x=\frac{-34±534}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-34±534}{2} når ± er pluss. Legg sammen -34 og 534.

$$x=\frac{500}{2}$$

Del 500 på 2.

$$x=250$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-34±534}{2} når ± er minus. Trekk fra 534 fra -34.

$$x=-\frac{568}{2}$$

Del -568 på 2.

$$x=-284$$

Ligningen er nå løst.

$$x=250 x=-284$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x-71000=0$$

Legg til 71000 på begge sider av ligningen.

$$x^{2}+34x-71000-\left(-71000\right)=-\left(-71000\right)$$

Når du trekker fra -71000 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}+34x=-\left(-71000\right)$$

Trekk fra -71000 fra 0.

$$x^{2}+34x=71000$$

Divider 34, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få 17. Legg deretter til kvadratet av 17 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+34x+17^{2}=71000+17^{2}$$

Kvadrer 17.

$$x^{2}+34x+289=71000+289$$

Legg sammen 71000 og 289.

$$x^{2}+34x+289=71289$$

Faktoriser x^{2}+34x+289. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=71289$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{71289}$$

Forenkle.

$$x+17=267 x+17=-267$$

Trekk fra 17 fra begge sider av ligningen.

$$x=250 x=-284$$