Løs x^2+3x+5=0

$$x ^ { 2 } + 3 x + 5 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{2}\approx -1,5+1,658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{2}\approx -1,5-1,658312395i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}+3x+5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, 3 for b og 5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5}}{2}$$

Kvadrer 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20}}{2}$$

Legg sammen 9 og -20.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-11}}{2}$$

Ta kvadratroten av -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2} når ± er pluss. Legg sammen -3 og i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-3±\sqrt{11}i}{2} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{11} fra -3.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x+5=0$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}+3x+5-5=-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}+3x=-5$$

Del 3, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{3}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{3}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-5+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{3}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-5+\frac{9}{4}$$

Legg sammen -5 og \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{11}{4}$$

Faktoriser x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Trekk fra \frac{3}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-3+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-3}{2}$$