Løs x^2+19x-120=0

$$x ^ { 2 } + 19 x - 120 = 0$$

Løs for x

$$x=-24$$

$$x=5$$

Trinn ved bruk av faktorisering

Hvis du vil løse formelen, faktor x^{2}+19x-120 å bruke formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=19 ab=-120$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 19.

$$a=-5 b=24$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(x+a\right)\left(x+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(x-5\right)\left(x+24\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-5=0 og x+24=0.

$$x=5 x=-24$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som x^{2}+ax+bx-120. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=19 ab=1\left(-120\right)=-120$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Løsningen er paret som gir Summer 19.

$$a=-5 b=24$$

Skriv om x^{2}+19x-120 som \left(x^{2}-5x\right)+\left(24x-120\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(24x-120\right)$$

Faktor ut x i den første og 24 i den andre gruppen.

$$x\left(x-5\right)+24\left(x-5\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-5 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-5\right)\left(x+24\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-5=0 og x+24=0.

$$x=5 x=-24$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}+19x-120=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, 19 for b og -120 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\left(-120\right)}}{2}$$

Kvadrer 19.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\left(-120\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -120.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+480}}{2}$$

Legg sammen 361 og 480.

$$x=\frac{-19±\sqrt{841}}{2}$$

Ta kvadratroten av 841.

$$x=\frac{-19±29}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-19±29}{2} når ± er pluss. Legg sammen -19 og 29.

$$x=\frac{10}{2}$$

Del 10 på 2.

$$x=5$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-19±29}{2} når ± er minus. Trekk fra 29 fra -19.

$$x=-\frac{48}{2}$$

Del -48 på 2.

$$x=-24$$

Ligningen er nå løst.

$$x=5 x=-24$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+19x-120=0$$

Legg til 120 på begge sider av ligningen.

$$x^{2}+19x-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

Når du trekker fra -120 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}+19x=-\left(-120\right)$$

Trekk fra -120 fra 0.

$$x^{2}+19x=120$$

Del 19, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{19}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{19}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}+19x+\left(\frac{19}{2}\right)^{2}=120+\left(\frac{19}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{19}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}+19x+\frac{361}{4}=120+\frac{361}{4}$$

Legg sammen 120 og \frac{361}{4}.

$$x^{2}+19x+\frac{361}{4}=\frac{841}{4}$$

Faktoriser x^{2}+19x+\frac{361}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{19}{2}=\frac{29}{2} x+\frac{19}{2}=-\frac{29}{2}$$

Trekk fra \frac{19}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=5 x=-24$$