Løs x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

Løs for x

$$x=-5$$

$$x=5$$

Løsningstrinn

Trekk fra x^{2}+11 fra begge sider av ligningen.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

Du finner den motsatte av x^{2}+11 ved å finne den motsatte av hvert ledd.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

Trekk fra 11 fra 42 for å få 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

Kvadrer begge sider av ligningen.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Regn ut \sqrt{x^{2}+11} opphøyd i 2 og få x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

Bruk binomialformelen \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} til å utvide \left(31-x^{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

Hvis du vil opphøye potensen til et tall til en annen potens, multipliserer du eksponentene. Multipliser 2 og 2 for å få 4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

Trekk fra 961 fra begge sider.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

Trekk fra 961 fra 11 for å få -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

Legg til 62x^{2} på begge sider.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

Kombiner x^{2} og 62x^{2} for å få 63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

Trekk fra x^{4} fra begge sider.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

Erstatt t med x^{2}.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt -1 med a, 63 med b, og -950 med c i den kvadratiske ligningen.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

Utfør beregningene.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

Løs ligningen t=\frac{-63±13}{-2} når ± er pluss og ± er minus.

$$t=25 t=38$$

Siden x=t^{2}, hentes løsningene ved å evaluere x=±\sqrt{t} for hver t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

Erstatt 5 med x i ligningen x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

Forenkle. Verdien x=5 tilfredsstiller ligningen.

$$42=42$$

Erstatt -5 med x i ligningen x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

Forenkle. Verdien x=-5 tilfredsstiller ligningen.

$$42=42$$

Erstatt \sqrt{38} med x i ligningen x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Forenkle. Verdien x=\sqrt{38} oppfyller ikke formelen.

$$56=42$$

Erstatt -\sqrt{38} med x i ligningen x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

Forenkle. Verdien x=-\sqrt{38} oppfyller ikke formelen.

$$56=42$$

Vis alle løsninger på \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}.

$$x=5 x=-5$$