Løs x^2+sqrt{6}x+5=0

$$x ^ { 2 } + \sqrt { 6 } x + 5 = 0$$

Løs for x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}\approx -1,224744871+1,870828693i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}\approx -1,224744871-1,870828693i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, \sqrt{6} for b og 5 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Kvadrer \sqrt{6}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-4\times 5}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 5.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-20}}{2}$$

Legg sammen 6 og -20.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{-14}}{2}$$

Ta kvadratroten av -14.

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2} når ± er pluss. Legg sammen -\sqrt{6} og i\sqrt{14}.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2} når ± er minus. Trekk fra i\sqrt{14} fra -\sqrt{6}.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

Trekk fra 5 fra begge sider av ligningen.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5-5=-5$$

Når du trekker fra 5 fra seg selv har du 0 igjen.

$$x^{2}+\sqrt{6}x=-5$$

Divider \sqrt{6}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få \frac{\sqrt{6}}{2}. Legg deretter til kvadratet av \frac{\sqrt{6}}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-5+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{\sqrt{6}}{2}.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-5+\frac{3}{2}$$

Legg sammen -5 og \frac{3}{2}.

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Faktoriser x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{2}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{2}}$$

Forenkle.

$$x+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{14}i}{2} x+\frac{\sqrt{6}}{2}=-\frac{\sqrt{14}i}{2}$$

Trekk fra \frac{\sqrt{6}}{2} fra begge sider av ligningen.

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$