Løs x=x^2-1

$$x = x ^ { 2 } - 1$$

Løs for x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$x-x^{2}=-1$$

Legg til 1 på begge sider.

$$x-x^{2}+1=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -1 for a, 1 for b og 1 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrer 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser -4 ganger -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Legg sammen 1 og 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multipliser 2 ganger -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} når ± er pluss. Legg sammen -1 og \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Del -1+\sqrt{5} på -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} når ± er minus. Trekk fra \sqrt{5} fra -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Del -1-\sqrt{5} på -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Trekk fra x^{2} fra begge sider.

$$x-x^{2}=-1$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Del begge sidene på -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Hvis du deler på -1, gjør du om gangingen med -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Del 1 på -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Del -1 på -1.

$$x^{2}-x=1$$

Divider -1, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{1}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Legg sammen 1 og \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Faktoriser x^{2}-x+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Legg til \frac{1}{2} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$