Løs x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Løs for x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Fremgangsmåten ved bruk av innsetting

Hvis du vil løse et ligningspar ved hjelp av innsetting, løser du først en av ligningene for å få en variabel. Deretter setter du inn resultatet for denne variabelen i den andre ligningen.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Velg én av ligningene, og løs den for x ved å isolere x på venstre side av likhetstegnet.

$$x+3y=6$$

Trekk fra 3y fra begge sider av ligningen.

$$x=-3y+6$$

Sett inn -3y+6 for x i den andre formelen, 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Multipliser 5 ganger -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Legg sammen -15y og -2y.

$$-17y+30=13$$

Trekk fra 30 fra begge sider av ligningen.

$$-17y=-17$$

Del begge sidene på -17.

$$y=1$$

Sett inn 1 for y i x=-3y+6. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$x=-3+6$$

Legg sammen 6 og -3.

$$x=3$$

Systemet er nå løst.

$$x=3,y=1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av matriser

Skriv ligningene i standardformat, og bruk matriser til å løse ligningssystemet.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Skriv ligningen i matriseform.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Venstremultipliser formelen med den inverse matrisen til \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Produktet av en matrise og dens inverse matrise er identitetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplisere matriser på venstre side av likhetstegnet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

For 2\times 2-matrisen\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), er den inverse matrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), så matriseformelen kan skrives om som matrisemultiplikasjon.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Multipliser matrisene.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Gjør aritmetikken.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Trekk ut matriseelementene x og y.

$$x=3,y=1$$

Fremgangsmåten ved hjelp av eliminasjon

Hvis du vil løse ved eliminasjon, må koeffisienten til en av variablene være den samme i begge formlene, slik at variabelen elimineres når én ligning trekkes fra den andre.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

For å gjøre x og 5x lik multipliserer du alle leddene på hver side av den første ligningen med 5 og alle leddene på hver side av den andre ligningen med 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Forenkle.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Trekk fra 5x-2y=13 fra 5x+15y=30 ved å trekke fra tilsvarende ledd på hver side av likhetstegnet.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Legg sammen 5x og -5x. Vilkårene 5x og -5x eliminerer hverandre, slik at vi får en formel med bare én variabel som kan løses.

$$15y+2y=30-13$$

Legg sammen 15y og 2y.

$$17y=30-13$$

Legg sammen 30 og -13.

$$17y=17$$

Del begge sidene på 17.

$$y=1$$

Sett inn 1 for y i 5x-2y=13. Fordi den resulterende ligningen inneholder bare én variabel, kan du løse x direkte.

$$5x-2=13$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$5x=15$$

Del begge sidene på 5.

$$x=3$$

Systemet er nå løst.

$$x=3,y=1$$