Løs x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Løs for x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Multipliser begge sider av formelen med 6, som er den minste fellesnevneren av 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3 med 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Kombiner 6x og 9x for å få 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -2 med x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Kombiner 15x og -2x for å få 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Legg sammen 3 og 4 for å få 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Trekk fra 6x^{2} fra begge sider.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Legg til 12 på begge sider.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Legg sammen 7 og 12 for å få 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Skriv polynomet på standardform ved å plassere leddene i rekkefølge fra høyeste til laveste potens.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som -6x^{2}+ax+bx+19. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Løsningen er paret som gir Summer 13.

$$a=19 b=-6$$

Skriv om -6x^{2}+13x+19 som \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Faktor ut -x i den første og -1 i den andre gruppen.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 6x-19 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse 6x-19=0 og -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Multipliser begge sider av formelen med 6, som er den minste fellesnevneren av 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3 med 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Kombiner 6x og 9x for å få 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -2 med x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Kombiner 15x og -2x for å få 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Legg sammen 3 og 4 for å få 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Trekk fra 6x^{2} fra begge sider.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Legg til 12 på begge sider.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Legg sammen 7 og 12 for å få 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn -6 for a, 13 for b og 19 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Kvadrer 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multipliser -4 ganger -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multipliser 24 ganger 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Legg sammen 169 og 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Ta kvadratroten av 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Multipliser 2 ganger -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-13±25}{-12} når ± er pluss. Legg sammen -13 og 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Del 12 på -12.

$$x=-1$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-13±25}{-12} når ± er minus. Trekk fra 25 fra -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Forkort brøken \frac{-38}{-12} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Multipliser begge sider av formelen med 6, som er den minste fellesnevneren av 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere 3 med 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Kombiner 6x og 9x for å få 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Bruk den distributive lov til å multiplisere -2 med x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Kombiner 15x og -2x for å få 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Legg sammen 3 og 4 for å få 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Trekk fra 6x^{2} fra begge sider.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Trekk fra 7 fra begge sider.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Trekk fra 7 fra -12 for å få -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Del begge sidene på -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Hvis du deler på -6, gjør du om gangingen med -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Del 13 på -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Del -19 på -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Divider -\frac{13}{6}, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{13}{12}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{13}{12} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{13}{12} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Legg sammen \frac{19}{6} og \frac{169}{144} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Legg til \frac{13}{12} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$