Løs t^2-6t+1geq0

$$t ^ { 2 } - 6 t + 1 \geq 0$$

Løs for t

$$t\in (-\infty,3-2\sqrt{2}]\cup [2\sqrt{2}+3,\infty)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$t^{2}-6t+1=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -6 med b, og 1 med c i den kvadratiske ligningen.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2}$$

Løs ligningen t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$t=2\sqrt{2}+3 t=3-2\sqrt{2}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$\left(t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\right)\left(t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\right)\geq 0$$

For at produktet skal være ≥0, t-\left(2\sqrt{2}+3\right) og t-\left(3-2\sqrt{2}\right) må være både ≤0 eller begge ≥0. Vurder saken når t-\left(2\sqrt{2}+3\right) og t-\left(3-2\sqrt{2}\right) er begge ≤0.

$$t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\leq 0 t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er t\leq 3-2\sqrt{2}.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}$$

Vurder saken når t-\left(2\sqrt{2}+3\right) og t-\left(3-2\sqrt{2}\right) er begge ≥0.

$$t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\geq 0 t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\geq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er t\geq 2\sqrt{2}+3.

$$t\geq 2\sqrt{2}+3$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}\text{; }t\geq 2\sqrt{2}+3$$