Løs t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Løs for t

$$t=-6$$

$$t=30$$

Trinn ved bruk av faktorisering

Hvis du vil løse formelen, faktor t^{2}-24t-180 å bruke formel t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-24 ab=-180$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -24.

$$a=-30 b=6$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(t+a\right)\left(t+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse t-30=0 og t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som t^{2}+at+bt-180. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Løsningen er paret som gir Summer -24.

$$a=-30 b=6$$

Skriv om t^{2}-24t-180 som \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

Faktor ut t i den første og 6 i den andre gruppen.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Faktorer ut det felles leddet t-30 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse t-30=0 og t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -24 for b og -180 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Kvadrer -24.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Legg sammen 576 og 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Ta kvadratroten av 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

Det motsatte av -24 er 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{24±36}{2} når ± er pluss. Legg sammen 24 og 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Del 60 på 2.

$$t=30$$

Nå kan du løse formelen t=\frac{24±36}{2} når ± er minus. Trekk fra 36 fra 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Del -12 på 2.

$$t=-6$$

Ligningen er nå løst.

$$t=30 t=-6$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Legg til 180 på begge sider av ligningen.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Når du trekker fra -180 fra seg selv har du 0 igjen.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Trekk fra -180 fra 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Del -24, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -12. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -12 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

Kvadrer -12.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Legg sammen 180 og 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Faktoriser t^{2}-24t+144. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Forenkle.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Legg til 12 på begge sider av ligningen.

$$t=30 t=-6$$