Løs r^2-22r-7=0

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

Løs for r

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22,313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0,313708499$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -22 for b og -7 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Kvadrer -22.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

Legg sammen 484 og 28.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

Ta kvadratroten av 512.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

Det motsatte av -22 er 22.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 22 og 16\sqrt{2}.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

Del 22+16\sqrt{2} på 2.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

Nå kan du løse formelen r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} når ± er minus. Trekk fra 16\sqrt{2} fra 22.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

Del 22-16\sqrt{2} på 2.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Legg til 7 på begge sider av ligningen.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Når du trekker fra -7 fra seg selv har du 0 igjen.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

Trekk fra -7 fra 0.

$$r^{2}-22r=7$$

Del -22, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -11. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -11 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

Kvadrer -11.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

Legg sammen 7 og 121.

$$r^{2}-22r+121=128$$

Faktoriser r^{2}-22r+121. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

Forenkle.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

Legg til 11 på begge sider av ligningen.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$