Løs n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Løs for n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Trinn ved bruk av faktorisering

Hvis du vil løse formelen, faktor n^{2}-n-210 å bruke formel n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -1.

$$a=-15 b=14$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(n+a\right)\left(n+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse n-15=0 og n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som n^{2}+an+bn-210. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -1.

$$a=-15 b=14$$

Skriv om n^{2}-n-210 som \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Faktor ut n i den første og 14 i den andre gruppen.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Faktorer ut det felles leddet n-15 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse n-15=0 og n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$n^{2}-n-210=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -1 for b og -210 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Legg sammen 1 og 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Ta kvadratroten av 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Det motsatte av -1 er 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{1±29}{2} når ± er pluss. Legg sammen 1 og 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Del 30 på 2.

$$n=15$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{1±29}{2} når ± er minus. Trekk fra 29 fra 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Del -28 på 2.

$$n=-14$$

Ligningen er nå løst.

$$n=15 n=-14$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Legg til 210 på begge sider av ligningen.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Når du trekker fra -210 fra seg selv har du 0 igjen.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Trekk fra -210 fra 0.

$$n^{2}-n=210$$

Del -1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Legg sammen 210 og \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Faktoriser n^{2}-n+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Forenkle.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Legg til \frac{1}{2} på begge sider av ligningen.

$$n=15 n=-14$$