Løs n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Løs for n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Regn ut 2009 opphøyd i 2 og få 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -4019 med b, og 4036081 med c i den kvadratiske ligningen.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Løs ligningen n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

En av verdiene n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} og n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} må være ≥0 og den andre må være ≤0 for at produktet skal bli ≤0. Vurder saken når n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 og n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Dette er usant for alle n.

$$n\in \emptyset$$

Vurder saken når n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 og n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$