Løs n^2-12n-84=-8

$$n ^ { 2 } - 12 n - 84 = - 8$$

Løs for n

$$n=4\sqrt{7}+6\approx 16,583005244$$

$$n=6-4\sqrt{7}\approx -4,583005244$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$n^{2}-12n-84=-8$$

Legg til 8 på begge sider av ligningen.

$$n^{2}-12n-84-\left(-8\right)=-8-\left(-8\right)$$

Når du trekker fra -8 fra seg selv har du 0 igjen.

$$n^{2}-12n-84-\left(-8\right)=0$$

Trekk fra -8 fra -84.

$$n^{2}-12n-76=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -12 for b og -76 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-76\right)}}{2}$$

Kvadrer -12.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-76\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -76.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+304}}{2}$$

Legg sammen 144 og 304.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{448}}{2}$$

Ta kvadratroten av 448.

$$n=\frac{-\left(-12\right)±8\sqrt{7}}{2}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$n=\frac{12±8\sqrt{7}}{2}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{12±8\sqrt{7}}{2} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 8\sqrt{7}.

$$n=\frac{8\sqrt{7}+12}{2}$$

Del 12+8\sqrt{7} på 2.

$$n=4\sqrt{7}+6$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{12±8\sqrt{7}}{2} når ± er minus. Trekk fra 8\sqrt{7} fra 12.

$$n=\frac{12-8\sqrt{7}}{2}$$

Del 12-8\sqrt{7} på 2.

$$n=6-4\sqrt{7}$$

Ligningen er nå løst.

$$n=4\sqrt{7}+6 n=6-4\sqrt{7}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-12n-84=-8$$

Legg til 84 på begge sider av ligningen.

$$n^{2}-12n-84-\left(-84\right)=-8-\left(-84\right)$$

Når du trekker fra -84 fra seg selv har du 0 igjen.

$$n^{2}-12n=-8-\left(-84\right)$$

Trekk fra -84 fra -8.

$$n^{2}-12n=76$$

Del -12, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -6. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -6 på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$n^{2}-12n+\left(-6\right)^{2}=76+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrer -6.

$$n^{2}-12n+36=76+36$$

Legg sammen 76 og 36.

$$n^{2}-12n+36=112$$

Faktoriser n^{2}-12n+36. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-6\right)^{2}=112$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(n-6\right)^{2}}=\sqrt{112}$$

Forenkle.

$$n-6=4\sqrt{7} n-6=-4\sqrt{7}$$

Legg til 6 på begge sider av ligningen.

$$n=4\sqrt{7}+6 n=6-4\sqrt{7}$$