Løs n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Løs for n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Trinn ved bruk av faktorisering

For å løse ligningen må du faktorisere n^{2}-11n-60 ved å bruke formelen n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Løsningen er paret som gir Summer -11.

$$a=-15 b=4$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(n+a\right)\left(n+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse n-15=0 og n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen faktoriserer du venstre side ved å gruppere. Først må venstre side omskrives som n^{2}+an+bn-60. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Løsningen er paret som gir Summer -11.

$$a=-15 b=4$$

Skriv om n^{2}-11n-60 som \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Faktor ut n i den første og 4 i den andre gruppen.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Faktorer ut det felles leddet n-15 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse n-15=0 og n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, -11 for b og -60 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Kvadrer -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Legg sammen 121 og 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Ta kvadratroten av 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Det motsatte av -11 er 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{11±19}{2} når ± er pluss. Legg sammen 11 og 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Del 30 på 2.

$$n=15$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{11±19}{2} når ± er minus. Trekk fra 19 fra 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Del -8 på 2.

$$n=-4$$

Ligningen er nå løst.

$$n=15 n=-4$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Legg til 60 på begge sider av ligningen.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Når du trekker fra -60 fra seg selv har du 0 igjen.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Trekk fra -60 fra 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Divider -11, koeffisienten til leddet x, med 2 for å få -\frac{11}{2}. Legg deretter til kvadratet av -\frac{11}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til et perfekt kvadrat.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{11}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Legg sammen 60 og \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktoriser n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Forenkle.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Legg til \frac{11}{2} på begge sider av ligningen.

$$n=15 n=-4$$