Løs n^2+n-110=0

$$n ^ { 2 } + n - 110 = 0$$

Løs for n

$$n=-11$$

$$n=10$$

Trinn ved bruk av faktorisering

Hvis du vil løse formelen, faktor n^{2}+n-110 å bruke formel n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=-110$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -110.

$$-1,110 -2,55 -5,22 -10,11$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+110=109 -2+55=53 -5+22=17 -10+11=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 1.

$$a=-10 b=11$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(n+a\right)\left(n+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(n-10\right)\left(n+11\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse n-10=0 og n+11=0.

$$n=10 n=-11$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som n^{2}+an+bn-110. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=1\left(-110\right)=-110$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -110.

$$-1,110 -2,55 -5,22 -10,11$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+110=109 -2+55=53 -5+22=17 -10+11=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 1.

$$a=-10 b=11$$

Skriv om n^{2}+n-110 som \left(n^{2}-10n\right)+\left(11n-110\right).

$$\left(n^{2}-10n\right)+\left(11n-110\right)$$

Faktor ut n i den første og 11 i den andre gruppen.

$$n\left(n-10\right)+11\left(n-10\right)$$

Faktorer ut det felles leddet n-10 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(n-10\right)\left(n+11\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse n-10=0 og n+11=0.

$$n=10 n=-11$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$n^{2}+n-110=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, 1 for b og -110 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-110\right)}}{2}$$

Kvadrer 1.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-110\right)}}{2}$$

Multipliser -4 ganger -110.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+440}}{2}$$

Legg sammen 1 og 440.

$$n=\frac{-1±\sqrt{441}}{2}$$

Ta kvadratroten av 441.

$$n=\frac{-1±21}{2}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{-1±21}{2} når ± er pluss. Legg sammen -1 og 21.

$$n=\frac{20}{2}$$

Del 20 på 2.

$$n=10$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{-1±21}{2} når ± er minus. Trekk fra 21 fra -1.

$$n=-\frac{22}{2}$$

Del -22 på 2.

$$n=-11$$

Ligningen er nå løst.

$$n=10 n=-11$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+n-110=0$$

Legg til 110 på begge sider av ligningen.

$$n^{2}+n-110-\left(-110\right)=-\left(-110\right)$$

Når du trekker fra -110 fra seg selv har du 0 igjen.

$$n^{2}+n=-\left(-110\right)$$

Trekk fra -110 fra 0.

$$n^{2}+n=110$$

Del 1, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{1}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{1}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=110+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{1}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=110+\frac{1}{4}$$

Legg sammen 110 og \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{441}{4}$$

Faktoriser n^{2}+n+\frac{1}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{441}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{4}}$$

Forenkle.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{21}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{21}{2}$$

Trekk fra \frac{1}{2} fra begge sider av ligningen.

$$n=10 n=-11$$