Løs n^2+17n+72=0

$$n ^ { 2 } + 17 n + 72 = 0$$

Løs for n

$$n=-9$$

$$n=-8$$

Trinn ved bruk av faktorisering

Hvis du vil løse formelen, faktor n^{2}+17n+72 å bruke formel n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=17 ab=72$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 72.

$$1,72 2,36 3,24 4,18 6,12 8,9$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+72=73 2+36=38 3+24=27 4+18=22 6+12=18 8+9=17$$

Løsningen er paret som gir Summer 17.

$$a=8 b=9$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket \left(n+a\right)\left(n+b\right) ved hjelp av de oppnådde verdiene.

$$\left(n+8\right)\left(n+9\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse n+8=0 og n+9=0.

$$n=-8 n=-9$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som n^{2}+an+bn+72. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=17 ab=1\times 72=72$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 72.

$$1,72 2,36 3,24 4,18 6,12 8,9$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+72=73 2+36=38 3+24=27 4+18=22 6+12=18 8+9=17$$

Løsningen er paret som gir Summer 17.

$$a=8 b=9$$

Skriv om n^{2}+17n+72 som \left(n^{2}+8n\right)+\left(9n+72\right).

$$\left(n^{2}+8n\right)+\left(9n+72\right)$$

Faktor ut n i den første og 9 i den andre gruppen.

$$n\left(n+8\right)+9\left(n+8\right)$$

Faktorer ut det felles leddet n+8 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(n+8\right)\left(n+9\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse n+8=0 og n+9=0.

$$n=-8 n=-9$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$n^{2}+17n+72=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 1 for a, 17 for b og 72 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 72}}{2}$$

Kvadrer 17.

$$n=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 72}}{2}$$

Multipliser -4 ganger 72.

$$n=\frac{-17±\sqrt{289-288}}{2}$$

Legg sammen 289 og -288.

$$n=\frac{-17±\sqrt{1}}{2}$$

Ta kvadratroten av 1.

$$n=\frac{-17±1}{2}$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{-17±1}{2} når ± er pluss. Legg sammen -17 og 1.

$$n=-\frac{16}{2}$$

Del -16 på 2.

$$n=-8$$

Nå kan du løse formelen n=\frac{-17±1}{2} når ± er minus. Trekk fra 1 fra -17.

$$n=-\frac{18}{2}$$

Del -18 på 2.

$$n=-9$$

Ligningen er nå løst.

$$n=-8 n=-9$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+17n+72=0$$

Trekk fra 72 fra begge sider av ligningen.

$$n^{2}+17n+72-72=-72$$

Når du trekker fra 72 fra seg selv har du 0 igjen.

$$n^{2}+17n=-72$$

Del 17, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få \frac{17}{2}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av \frac{17}{2} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$n^{2}+17n+\left(\frac{17}{2}\right)^{2}=-72+\left(\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Kvadrer \frac{17}{2} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$n^{2}+17n+\frac{289}{4}=-72+\frac{289}{4}$$

Legg sammen -72 og \frac{289}{4}.

$$n^{2}+17n+\frac{289}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktoriser n^{2}+17n+\frac{289}{4}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(n+\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Forenkle.

$$n+\frac{17}{2}=\frac{1}{2} n+\frac{17}{2}=-\frac{1}{2}$$

Trekk fra \frac{17}{2} fra begge sider av ligningen.

$$n=-8 n=-9$$