Løs f(x)=x^4-29x^2+100

$$f ( x ) = x ^ { 4 } - 29 x ^ { 2 } + 100$$

Faktoriser

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Løsningstrinn

Hvis du vil beregne uttrykket, kan du løse ligningen der den er lik 0.

$$x^{4}-29x^{2}+100=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 100 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±100,±50,±25,±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=2$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{4}-29x^{2}+100 på x-2 for å få x^{3}+2x^{2}-25x-50. Hvis du vil beregne resultatet, kan du løse formelen der den er lik 0.

$$x^{3}+2x^{2}-25x-50=0$$

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -50 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. Vis alle kandidater \frac{p}{q}.

$$±50,±25,±10,±5,±2,±1$$

Finn én slik rot ved å prøve ut alle heltallsverdiene, fra den minste etter absolutt verdi. Hvis ingen heltallsrøtter blir funnet, kan du prøve ut brøker.

$$x=-2$$

Ifølge faktorteoremet er x-k en faktor av polynomet for hver rot k. Del x^{3}+2x^{2}-25x-50 på x+2 for å få x^{2}-25. Hvis du vil beregne resultatet, kan du løse formelen der den er lik 0.

$$x^{2}-25=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, 0 med b, og -25 med c i den kvadratiske ligningen.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-25\right)}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$x=\frac{0±10}{2}$$

Løs ligningen x^{2}-25=0 når ± er pluss og ± er minus.

$$x=-5 x=5$$

Skriv om det faktoriserte uttrykket på nytt ved hjelp av de hentede røttene.

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Evaluer

$$x^{4}-29x^{2}+100$$