Løs f(x)=25x^2+100x+99

$$f ( x ) = 25 x ^ { 2 } + 100 x + 99$$

Faktoriser

$$\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 25x^{2}+ax+bx+99. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=100 ab=25\times 99=2475$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er positiv, er a og b positive. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 2475.

$$1,2475 3,825 5,495 9,275 11,225 15,165 25,99 33,75 45,55$$

Beregn summen for hvert par.

$$1+2475=2476 3+825=828 5+495=500 9+275=284 11+225=236 15+165=180 25+99=124 33+75=108 45+55=100$$

Løsningen er paret som gir Summer 100.

$$a=45 b=55$$

Skriv om 25x^{2}+100x+99 som \left(25x^{2}+45x\right)+\left(55x+99\right).

$$\left(25x^{2}+45x\right)+\left(55x+99\right)$$

Faktor ut 5x i den første og 11 i den andre gruppen.

$$5x\left(5x+9\right)+11\left(5x+9\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 5x+9 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$25x^{2}+100x+99=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\times 25\times 99}}{2\times 25}$$

Kvadrer 100.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\times 25\times 99}}{2\times 25}$$

Multipliser -4 ganger 25.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-100\times 99}}{2\times 25}$$

Multipliser -100 ganger 99.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-9900}}{2\times 25}$$

Legg sammen 10000 og -9900.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100}}{2\times 25}$$

Ta kvadratroten av 100.

$$x=\frac{-100±10}{2\times 25}$$

Multipliser 2 ganger 25.

$$x=\frac{-100±10}{50}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-100±10}{50} når ± er pluss. Legg sammen -100 og 10.

$$x=-\frac{90}{50}$$

Forkort brøken \frac{-90}{50} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$x=-\frac{9}{5}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{-100±10}{50} når ± er minus. Trekk fra 10 fra -100.

$$x=-\frac{110}{50}$$

Forkort brøken \frac{-110}{50} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt -\frac{9}{5} med x_{1} og -\frac{11}{5} med x_{2}.

$$25x^{2}+100x+99=25\left(x-\left(-\frac{9}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{11}{5}\right)\right)$$

Forenkle alle uttrykkene i formelen fra p-\left(-q\right)til p+q.

$$25x^{2}+100x+99=25\left(x+\frac{9}{5}\right)\left(x+\frac{11}{5}\right)$$

Legg sammen \frac{9}{5} og x ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{5x+9}{5}\left(x+\frac{11}{5}\right)$$

Legg sammen \frac{11}{5} og x ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{5x+9}{5}\times \frac{5x+11}{5}$$

Multipliser \frac{5x+9}{5} med \frac{5x+11}{5} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)}{5\times 5}$$

Multipliser 5 ganger 5.

$$25x^{2}+100x+99=25\times \frac{\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)}{25}$$

Opphev den største felles faktoren 25 i 25 og 25.

$$25x^{2}+100x+99=\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$

Evaluer

$$\left(5x+9\right)\left(5x+11\right)$$