Løs f(x)=2x^4+11x^3+15x^2-8x-20

$$f ( x ) = 2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 8 x - 20$$

Faktoriser

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Løsningstrinn

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -20 og q dividerer den ledende koeffisienten 2. En slik rot er -\frac{5}{2}. Du skal beregne polynomet ved å dele den med 2x+5.

$$\left(2x+5\right)\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$$

Vurder x^{3}+3x^{2}-4. Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet -4 og q dividerer den ledende koeffisienten 1. En slik rot er -2. Du skal beregne polynomet ved å dele den med x+2.

$$\left(x+2\right)\left(x^{2}+x-2\right)$$

Vurder x^{2}+x-2. Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som x^{2}+ax+bx-2. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=-1 b=2$$

Skriv om x^{2}+x-2 som \left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

Faktor ut x i den første og 2 i den andre gruppen.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

Skriv om det fullførte faktoriserte uttrykket.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

Evaluer

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$