Løs f(x)=12x^3-17x^2-20x+25

$$f ( x ) = 12 x ^ { 3 } - 17 x ^ { 2 } - 20 x + 25$$

Faktoriser

$$\left(x-1\right)\left(3x-5\right)\left(4x+5\right)$$

Løsningstrinn

Ifølge teoremet om rasjonale røtter er alle rasjonale røtter av et polynom i formen \frac{p}{q}, der p dividerer konstantleddet 25 og q dividerer den ledende koeffisienten 12. En slik rot er \frac{5}{3}. Du skal beregne polynomet ved å dele den med 3x-5.

$$\left(3x-5\right)\left(4x^{2}+x-5\right)$$

Vurder 4x^{2}+x-5. Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 4x^{2}+ax+bx-5. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=1 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er positiv, har det positive tallet større absolutt verdi enn det negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Løsningen er paret som gir Summer 1.

$$a=-4 b=5$$

Skriv om 4x^{2}+x-5 som \left(4x^{2}-4x\right)+\left(5x-5\right).

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(5x-5\right)$$

Faktor ut 4x i den første og 5 i den andre gruppen.

$$4x\left(x-1\right)+5\left(x-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-1\right)\left(4x+5\right)$$

Skriv om det fullførte faktoriserte uttrykket.

$$\left(3x-5\right)\left(x-1\right)\left(4x+5\right)$$

Evaluer

$$\left(x-1\right)\left(3x-5\right)\left(4x+5\right)$$