Løs f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Evaluer

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Løsningstrinn

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Siden \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int t^{2}\mathrm{d}t med \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Siden \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int t\mathrm{d}t med \frac{t^{2}}{2}. Multipliser -1 ganger \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Forenkle.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Differensier med hensyn til x

$$x\left(x-1\right)$$