Løs dxsinx

$$d x \sin x$$

Evaluer

$$\cos(x)$$

Fremgangsmåte ved hjelp av definisjon av den deriverte

For funksjonen f\left(x\right) er derivatet grensen på \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} når h går til 0, hvis denne grensen finnes.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

Bruk sumformelen for sinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

Faktoriser ut \sin(x).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

Skriv om grensen.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Bruk faktumet at x er en konstant ved beregning av grenser når h går til 0.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Grensen \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} er 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

For å evaluere grensen \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, multipliserer du først telleren og nevneren med \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multipliser \cos(h)+1 ganger \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Bruk enhetsformelen.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Skriv om grensen.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Grensen \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} er 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Bruk faktumet at \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} er kontinuerlig på 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Sett inn verdien 0 i uttrykket \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

Differensier med hensyn til x

$$-\sin(x)$$