Løs a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

Løs for a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Faktoriser venstre side for å løse ulikheten. Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-68a+225=0$$

Alle ligningene av typen ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske ligningen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Erstatt 1 med a, -68 med b, og 225 med c i den kvadratiske ligningen.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

Utfør beregningene.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

Løs ligningen a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} når ± er pluss og ± er minus.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

Skriv om ulikheten ved hjelp av de oppnådde løsningene.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

En av verdiene a-\left(7\sqrt{19}+34\right) og a-\left(34-7\sqrt{19}\right) må være ≥0 og den andre må være ≤0 for at produktet skal bli ≤0. Vurder saken når a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 og a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

Dette er usant for alle a.

$$a\in \emptyset$$

Vurder saken når a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 og a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

Løsningen som oppfyller begge ulikhetene, er a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

Den siste løsningen er unionen av de oppnådde løsningene.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$