Løs I ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-24t+143)dt

$$I ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - 24 t + 143 ) d t$$

Evaluer

$$\frac{x\left(x^{2}-36x+429\right)}{3}$$

Løsningstrinn

Evaluer det ubestemte integralet først.

$$\int t^{2}-24t+143\mathrm{d}t$$

Integrer summeringsuttrykket etter termin.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -24t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

Faktorisere ut konstanten i hver av betingelsene.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-24\int t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

Siden \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int t^{2}\mathrm{d}t med \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-24\int t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

Siden \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} for k\neq -1, må du erstatte \int t\mathrm{d}t med \frac{t^{2}}{2}. Multipliser -24 ganger \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-12t^{2}+\int 143\mathrm{d}t$$

Finn integralet for 143 ved hjelp av tabellen med felles integrals regel \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{3}}{3}-12t^{2}+143t$$

Det uthevede integralet er den antideriverte i uttrykket som evalueres ved øvre grense for integrasjon minus den antideriverte som evalueres ved nedre grense for integrasjon.

$$\frac{x^{3}}{3}-12x^{2}+143x-\left(\frac{0^{3}}{3}-12\times 0^{2}+143\times 0\right)$$

Forenkle.

$$\frac{x\left(x^{2}-36x+429\right)}{3}$$

Differensier med hensyn til x

$$\left(x-13\right)\left(x-11\right)$$