Løs 90m^2-137m-45

$$90 m ^ { 2 } - 137 m - 45$$

Faktoriser

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Løsningstrinn

Faktoriser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 90m^{2}+am+bm-45. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-137 ab=90\left(-45\right)=-4050$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -4050.

$$1,-4050 2,-2025 3,-1350 5,-810 6,-675 9,-450 10,-405 15,-270 18,-225 25,-162 27,-150 30,-135 45,-90 50,-81 54,-75$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-4050=-4049 2-2025=-2023 3-1350=-1347 5-810=-805 6-675=-669 9-450=-441 10-405=-395 15-270=-255 18-225=-207 25-162=-137 27-150=-123 30-135=-105 45-90=-45 50-81=-31 54-75=-21$$

Løsningen er paret som gir Summer -137.

$$a=-162 b=25$$

Skriv om 90m^{2}-137m-45 som \left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right).

$$\left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right)$$

Faktor ut 18m i den første og 5 i den andre gruppen.

$$18m\left(5m-9\right)+5\left(5m-9\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 5m-9 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$90m^{2}-137m-45=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{\left(-137\right)^{2}-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Kvadrer -137.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Multipliser -4 ganger 90.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-360\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Multipliser -360 ganger -45.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769+16200}}{2\times 90}$$

Legg sammen 18769 og 16200.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{34969}}{2\times 90}$$

Ta kvadratroten av 34969.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±187}{2\times 90}$$

Det motsatte av -137 er 137.

$$m=\frac{137±187}{2\times 90}$$

Multipliser 2 ganger 90.

$$m=\frac{137±187}{180}$$

Nå kan du løse formelen m=\frac{137±187}{180} når ± er pluss. Legg sammen 137 og 187.

$$m=\frac{324}{180}$$

Forkort brøken \frac{324}{180} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 36.

$$m=\frac{9}{5}$$

Nå kan du løse formelen m=\frac{137±187}{180} når ± er minus. Trekk fra 187 fra 137.

$$m=-\frac{50}{180}$$

Forkort brøken \frac{-50}{180} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 10.

$$m=-\frac{5}{18}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt \frac{9}{5} med x_{1} og -\frac{5}{18} med x_{2}.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{18}\right)\right)$$

Forenkle alle uttrykkene i formelen fra p-\left(-q\right) til p+q.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Trekk fra \frac{9}{5} fra m ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Legg sammen \frac{5}{18} og m ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\times \frac{18m+5}{18}$$

Multipliser \frac{5m-9}{5} med \frac{18m+5}{18} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{5\times 18}$$

Multipliser 5 ganger 18.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{90}$$

Eliminer den største felles faktoren 90 i 90 og 90.

$$90m^{2}-137m-45=\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Evaluer

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$