Løs 9z^2-30z+41=0

$$9 z ^ { 2 } - 30 z + 41 = 0$$

Løs for z

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i\approx 1,666666667+1,333333333i$$

$$z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i\approx 1,666666667-1,333333333i$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9z^{2}-30z+41=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -30 for b og 41 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 9\times 41}}{2\times 9}$$

Kvadrer -30.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 9\times 41}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-36\times 41}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger 41.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-1476}}{2\times 9}$$

Legg sammen 900 og -1476.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{-576}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av -576.

$$z=\frac{-\left(-30\right)±24i}{2\times 9}$$

Det motsatte av -30 er 30.

$$z=\frac{30±24i}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$z=\frac{30±24i}{18}$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{30±24i}{18} når ± er pluss. Legg sammen 30 og 24i.

$$z=\frac{30+24i}{18}$$

Del 30+24i på 18.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i$$

Nå kan du løse formelen z=\frac{30±24i}{18} når ± er minus. Trekk fra 24i fra 30.

$$z=\frac{30-24i}{18}$$

Del 30-24i på 18.

$$z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$

Ligningen er nå løst.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9z^{2}-30z+41=0$$

Trekk fra 41 fra begge sider av ligningen.

$$9z^{2}-30z+41-41=-41$$

Når du trekker fra 41 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9z^{2}-30z=-41$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9z^{2}-30z}{9}=-\frac{41}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$z^{2}+\left(-\frac{30}{9}\right)z=-\frac{41}{9}$$

Forkort brøken \frac{-30}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z=-\frac{41}{9}$$

Del -\frac{10}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{5}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{5}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{41}{9}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{5}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}=\frac{-41+25}{9}$$

Legg sammen -\frac{41}{9} og \frac{25}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}=-\frac{16}{9}$$

Faktoriser z^{2}-\frac{10}{3}z+\frac{25}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(z-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{16}{9}}$$

Forenkle.

$$z-\frac{5}{3}=\frac{4}{3}i z-\frac{5}{3}=-\frac{4}{3}i$$

Legg til \frac{5}{3} på begge sider av ligningen.

$$z=\frac{5}{3}+\frac{4}{3}i z=\frac{5}{3}-\frac{4}{3}i$$