Løs 9y^2-12y+4=y^2

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4 = y ^ { 2 }$$

Løs for y

$$y=\frac{1}{2}=0,5$$

$$y=1$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

Trekk fra y^{2} fra begge sider.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Kombiner 9y^{2} og -y^{2} for å få 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Del begge sidene på 4.

$$2y^{2}-3y+1=0$$

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 2y^{2}+ay+by+1. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-3 ab=2\times 1=2$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Det eneste paret er system løsningen.

$$a=-2 b=-1$$

Skriv om 2y^{2}-3y+1 som \left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right).

$$\left(2y^{2}-2y\right)+\left(-y+1\right)$$

Faktor ut 2y i den første og -1 i den andre gruppen.

$$2y\left(y-1\right)-\left(y-1\right)$$

Faktorer ut det felles leddet y-1 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(y-1\right)\left(2y-1\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse y-1=0 og 2y-1=0.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Trekk fra y^{2} fra begge sider.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Kombiner 9y^{2} og -y^{2} for å få 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 8 for a, -12 for b og 4 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Kvadrer -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 8\times 4}}{2\times 8}$$

Multipliser -4 ganger 8.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-32\times 4}}{2\times 8}$$

Multipliser -32 ganger 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-128}}{2\times 8}$$

Legg sammen 144 og -128.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{16}}{2\times 8}$$

Ta kvadratroten av 16.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±4}{2\times 8}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$y=\frac{12±4}{2\times 8}$$

Multipliser 2 ganger 8.

$$y=\frac{12±4}{16}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{12±4}{16} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 4.

$$y=\frac{16}{16}$$

Del 16 på 16.

$$y=1$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{12±4}{16} når ± er minus. Trekk fra 4 fra 12.

$$y=\frac{8}{16}$$

Forkort brøken \frac{8}{16} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 8.

$$y=\frac{1}{2}$$

Ligningen er nå løst.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Trekk fra y^{2} fra begge sider.

$$9y^{2}-12y+4-y^{2}=0$$

Kombiner 9y^{2} og -y^{2} for å få 8y^{2}.

$$8y^{2}-12y+4=0$$

Trekk fra 4 fra begge sider. Hvilket som helst tall trukket fra null gir sin negasjon.

$$8y^{2}-12y=-4$$

Del begge sidene på 8.

$$\frac{8y^{2}-12y}{8}=-\frac{4}{8}$$

Hvis du deler på 8, gjør du om gangingen med 8.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{8}\right)y=-\frac{4}{8}$$

Forkort brøken \frac{-12}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{4}{8}$$

Forkort brøken \frac{-4}{8} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 4.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y=-\frac{1}{2}$$

Del -\frac{3}{2}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{3}{4}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{3}{4} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{3}{4} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=-\frac{1}{2}+\frac{9}{16}$$

Legg sammen -\frac{1}{2} og \frac{9}{16} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}=\frac{1}{16}$$

Faktoriser y^{2}-\frac{3}{2}y+\frac{9}{16}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{16}}$$

Forenkle.

$$y-\frac{3}{4}=\frac{1}{4} y-\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

Legg til \frac{3}{4} på begge sider av ligningen.

$$y=1 y=\frac{1}{2}$$