Løs 9y^2-12y+4

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4$$

Faktoriser

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 9y^{2}+ay+by+4. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Siden ab er positiv, a og b har samme fortegn. Siden a+b er negativ, er både a og b negative. Vis alle slike hel talls par som gir produkt 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Beregn summen for hvert par.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Løsningen er paret som gir Summer -12.

$$a=-6 b=-6$$

Skriv om 9y^{2}-12y+4 som \left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right).

$$\left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right)$$

Faktor ut 3y i den første og -2 i den andre gruppen.

$$3y\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)$$

Faktorer ut det felles leddet 3y-2 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Skriv på nytt som et binomialt kvadrat.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av kvadratet av et binom

Dette trinomet er et trinom i andre potens, kanskje multiplisert med en fellesfaktor. Trinom i andre potens kan faktoriseres ved å finne kvadratroten av ledende og etterfølgende ledd.

$$factor(9y^{2}-12y+4)$$

Finn den største felles faktoren for koeffisientene.

$$gcf(9,-12,4)=1$$

Finn kvadratroten av det ledende leddet, 9y^{2}.

$$\sqrt{9y^{2}}=3y$$

Finn kvadratroten av det etterfølgende leddet, 4.

$$\sqrt{4}=2$$

Trinomisk kvadrat er kvadratet av binomet som er summen av eller forskjellen mellom kvadratroten til ledende og etterfølgende ledd, med tegn som bestemmes av tegnet for midtleddet i trinomkvadratet.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Kvadrer -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Legg sammen 144 og -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 0.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±0}{2\times 9}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$y=\frac{12±0}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$y=\frac{12±0}{18}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt \frac{2}{3} med x_{1} og \frac{2}{3} med x_{2}.

$$9y^{2}-12y+4=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Trekk fra \frac{2}{3} fra y ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Trekk fra \frac{2}{3} fra y ved å finne en fellesnevner og trekke fra tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\times \frac{3y-2}{3}$$

Multipliser \frac{3y-2}{3} med \frac{3y-2}{3} ved å multiplisere teller ganger teller og nevner ganger nevner. Forkort deretter brøken om mulig.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{3\times 3}$$

Multipliser 3 ganger 3.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{9}$$

Opphev den største felles faktoren 9 i 9 og 9.

$$9y^{2}-12y+4=\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Evaluer

$$\left(3y-2\right)^{2}$$