Løs 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Løs for y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -12 for b og 2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Kvadrer -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Legg sammen 144 og -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Det motsatte av -12 er 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} når ± er pluss. Legg sammen 12 og 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Del 12+6\sqrt{2} på 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} når ± er minus. Trekk fra 6\sqrt{2} fra 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Del 12-6\sqrt{2} på 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Ligningen er nå løst.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Trekk fra 2 fra begge sider av ligningen.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Når du trekker fra 2 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Forkort brøken \frac{-12}{9} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Del -\frac{4}{3}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{2}{3}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{2}{3} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{2}{3} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Legg sammen -\frac{2}{9} og \frac{4}{9} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Faktoriser y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Forenkle.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Legg til \frac{2}{3} på begge sider av ligningen.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$