Løs 9y^2-104y-48

$$9 y ^ { 2 } - 104 y - 48$$

Faktoriser

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Løsningstrinn

Faktor iser uttrykket ved å gruppere. Først må uttrykket omskrives som 9y^{2}+ay+by-48. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-104 ab=9\left(-48\right)=-432$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -432.

$$1,-432 2,-216 3,-144 4,-108 6,-72 8,-54 9,-48 12,-36 16,-27 18,-24$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-432=-431 2-216=-214 3-144=-141 4-108=-104 6-72=-66 8-54=-46 9-48=-39 12-36=-24 16-27=-11 18-24=-6$$

Løsningen er paret som gir Summer -104.

$$a=-108 b=4$$

Skriv om 9y^{2}-104y-48 som \left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right).

$$\left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right)$$

Faktor ut 9y i den første og 4 i den andre gruppen.

$$9y\left(y-12\right)+4\left(y-12\right)$$

Faktorer ut det felles leddet y-12 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Kvadratisk ligning for polynom kan faktoriseres ved hjelp av transformasjonen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), der x_{1} og x_{2} er løsningene for den kvadratiske ligningen ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-104y-48=0$$

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{\left(-104\right)^{2}-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer -104.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-36\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -48.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816+1728}}{2\times 9}$$

Legg sammen 10816 og 1728.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{12544}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 12544.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±112}{2\times 9}$$

Det motsatte av -104 er 104.

$$y=\frac{104±112}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$y=\frac{104±112}{18}$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{104±112}{18} når ± er pluss. Legg sammen 104 og 112.

$$y=\frac{216}{18}$$

Del 216 på 18.

$$y=12$$

Nå kan du løse formelen y=\frac{104±112}{18} når ± er minus. Trekk fra 112 fra 104.

$$y=-\frac{8}{18}$$

Forkort brøken \frac{-8}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$y=-\frac{4}{9}$$

Faktoriser det opprinnelige uttrykket ved hjelp av ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Erstatt 12 med x_{1} og -\frac{4}{9} med x_{2}.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y-\left(-\frac{4}{9}\right)\right)$$

Forenkle alle uttrykkene i formelen fra p-\left(-q\right)til p+q.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y+\frac{4}{9}\right)$$

Legg sammen \frac{4}{9} og y ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\times \frac{9y+4}{9}$$

Opphev den største felles faktoren 9 i 9 og 9.

$$9y^{2}-104y-48=\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Evaluer

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$