Løs 9x^2-x-890=0

$$9 x ^ { 2 } - x - 890 = 0$$

Løs for x

$$x = -\frac{89}{9} = -9\frac{8}{9} \approx -9,888888889$$

$$x=10$$

Trinn ved bruk av faktorisering etter gruppering

For å løse ligningen, faktorer du venstre side ved gruppering. Første, venstre side må skrives på nytt som 9x^{2}+ax+bx-890. Hvis du vil finne a og b, setter du opp et system som skal løses.

$$a+b=-1 ab=9\left(-890\right)=-8010$$

Siden ab er negativ, a og b har motsatt tegn. Siden a+b er negativ, har negative tallet større absolutt verdi enn positiv. Vis alle slike hel talls par som gir produkt -8010.

$$1,-8010 2,-4005 3,-2670 5,-1602 6,-1335 9,-890 10,-801 15,-534 18,-445 30,-267 45,-178 89,-90$$

Beregn summen for hvert par.

$$1-8010=-8009 2-4005=-4003 3-2670=-2667 5-1602=-1597 6-1335=-1329 9-890=-881 10-801=-791 15-534=-519 18-445=-427 30-267=-237 45-178=-133 89-90=-1$$

Løsningen er paret som gir Summer -1.

$$a=-90 b=89$$

Skriv om 9x^{2}-x-890 som \left(9x^{2}-90x\right)+\left(89x-890\right).

$$\left(9x^{2}-90x\right)+\left(89x-890\right)$$

Faktor ut 9x i den første og 89 i den andre gruppen.

$$9x\left(x-10\right)+89\left(x-10\right)$$

Faktorer ut det felles leddet x-10 ved å bruke den distributive lov.

$$\left(x-10\right)\left(9x+89\right)$$

Hvis du vil finne formel løsninger, kan du løse x-10=0 og 9x+89=0.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}-x-890=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -1 for b og -890 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 9\left(-890\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-36\left(-890\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -890.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+32040}}{2\times 9}$$

Legg sammen 1 og 32040.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{32041}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 32041.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±179}{2\times 9}$$

Det motsatte av -1 er 1.

$$x=\frac{1±179}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{1±179}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±179}{18} når ± er pluss. Legg sammen 1 og 179.

$$x=\frac{180}{18}$$

Del 180 på 18.

$$x=10$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{1±179}{18} når ± er minus. Trekk fra 179 fra 1.

$$x=-\frac{178}{18}$$

Forkort brøken \frac{-178}{18} til minste felles nevner ved å dele teller og nevner på 2.

$$x=-\frac{89}{9}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-x-890=0$$

Legg til 890 på begge sider av ligningen.

$$9x^{2}-x-890-\left(-890\right)=-\left(-890\right)$$

Når du trekker fra -890 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}-x=-\left(-890\right)$$

Trekk fra -890 fra 0.

$$9x^{2}-x=890$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}-x}{9}=\frac{890}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x=\frac{890}{9}$$

Del -\frac{1}{9}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{1}{18}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{1}{18} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{890}{9}+\left(-\frac{1}{18}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{1}{18} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{890}{9}+\frac{1}{324}$$

Legg sammen \frac{890}{9} og \frac{1}{324} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}=\frac{32041}{324}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{1}{9}x+\frac{1}{324}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}=\frac{32041}{324}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{32041}{324}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{1}{18}=\frac{179}{18} x-\frac{1}{18}=-\frac{179}{18}$$

Legg til \frac{1}{18} på begge sider av ligningen.

$$x=10 x=-\frac{89}{9}$$