Løs 9x^2-4x-2=0

$$9 x ^ { 2 } - 4 x - 2 = 0$$

Løs for x

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}\approx 0,743379529$$

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}\approx -0,298935084$$

Fremgangsmåten ved bruk av andregradsformelen

Alle formler for skjemaet ax^{2}+bx+c=0 kan løses ved hjelp av den kvadratiske formelen: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Den kvadratiske formelen gir to løsninger, én når ± er addisjon og en når det er subtraksjon.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

Denne ligningen er i standard form: ax^{2}+bx+c=0. Sett inn 9 for a, -4 for b og -2 for c i andregradsformelen, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Kvadrer -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 9\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -4 ganger 9.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-36\left(-2\right)}}{2\times 9}$$

Multipliser -36 ganger -2.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+72}}{2\times 9}$$

Legg sammen 16 og 72.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{88}}{2\times 9}$$

Ta kvadratroten av 88.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

Det motsatte av -4 er 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{2\times 9}$$

Multipliser 2 ganger 9.

$$x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} når ± er pluss. Legg sammen 4 og 2\sqrt{22}.

$$x=\frac{2\sqrt{22}+4}{18}$$

Del 4+2\sqrt{22} på 18.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9}$$

Nå kan du løse formelen x=\frac{4±2\sqrt{22}}{18} når ± er minus. Trekk fra 2\sqrt{22} fra 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{22}}{18}$$

Del 4-2\sqrt{22} på 18.

$$x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

Ligningen er nå løst.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$

Trinn for å fullføre kvadreringen

Andregradsligninger som denne kan løses ved å fullføre kvadratet. For å kunne fullføre kvadratet, må ligningen først ha formen x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-4x-2=0$$

Legg til 2 på begge sider av ligningen.

$$9x^{2}-4x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Når du trekker fra -2 fra seg selv har du 0 igjen.

$$9x^{2}-4x=-\left(-2\right)$$

Trekk fra -2 fra 0.

$$9x^{2}-4x=2$$

Del begge sidene på 9.

$$\frac{9x^{2}-4x}{9}=\frac{2}{9}$$

Hvis du deler på 9, gjør du om gangingen med 9.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x=\frac{2}{9}$$

Del -\frac{4}{9}, koeffisienten i x termen, etter 2 for å få -\frac{2}{9}. Deretter legger du til kvadrat firkanten av -\frac{2}{9} på begge sider av ligningen. Dette trinnet gjør venstre side av ligningen til en perfekt firkant.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{9}\right)^{2}$$

Kvadrer -\frac{2}{9} ved å kvadrere både telleren og nevneren i brøken.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{2}{9}+\frac{4}{81}$$

Legg sammen \frac{2}{9} og \frac{4}{81} ved å finne en fellesnevner og legge sammen tellerne. Forkort deretter brøken om mulig.

$$x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}=\frac{22}{81}$$

Faktoriser x^{2}-\frac{4}{9}x+\frac{4}{81}. Generelt, når x^{2}+bx+c er et kvadrattall, kan det alltid faktoriseres som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}=\frac{22}{81}$$

Ta kvadratroten av begge sider av ligningen.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{22}{81}}$$

Forenkle.

$$x-\frac{2}{9}=\frac{\sqrt{22}}{9} x-\frac{2}{9}=-\frac{\sqrt{22}}{9}$$

Legg til \frac{2}{9} på begge sider av ligningen.

$$x=\frac{\sqrt{22}+2}{9} x=\frac{2-\sqrt{22}}{9}$$